Денис Малый. Формальная магия

Я хочу уделить немного внимания той форме научного рассуждения, которую ряд современных ученых описывает, примерно, как утерянную ныне традицию спокойного осмысления последующих уточняющих действий в построении научной теории. Рассказать о том, как наука может рассуждать об абстрактных явлениях, о самой себе, а и даже просто о вольных художественных следствиях вполне строгих и хорошо формализованных теорий.

Но вначале о том, как в математике была обозначена возможность создания, без малого, формализованной теории научного познания. В 1911-1913 гг. был выпущен “Principia Matematica” за авторством Бертрана Рассела и Альфреда Норта Уайтхеда. Этот масштабный математический труд в трех томах содержал рассуждения, выходящие, тем не менее, за пределы математики в область логики и философии. Рассуждения такого рода авторы назвали метаматематикой. Как следует из названия, метаматематика была призвана описать математику как целое. Составить теорию, которая объясняла бы, как работает математическая наука, решить проблемы аксиоматического метода и возможные парадоксы математики. Такая необходимость к тому моменту в математическом мире была достаточно острой. Со времен античности аксиоматический метод использовался, по сути, лишь в геометрии, однако со временем во многих областях математики появились системы аксиом, на основании которых можно было адекватно описать эти области. Очевидно, это указывало на некую универсальность развития математики, из чего следовал вывод о возможности создания науки о том, как работает математика. Для этого было введено понятие формальной системы, которое и должно было стать основой новой науки о науке. Полное понимания того, как строить математические теории на основании универсальной схемы открывало широкие перспективы. Камнем преткновения для этой деятельности в математическом мире тех лет стало следующее событие:

В 1931 году молодой немецкий математик Курт Гёдель в своей статье Über formal unentscheidbare Sätze per Principia Mathematica und verwandter System I ввел серьезное ограничение на возможности метаматематики и на формальные системы как таковые, сформулировав и доказав свою теорему о неполноте, которая, без преувеличения, является вызовом математической науке и по сей день.

Такова предыстория одного из величайших открытий 20-го века, сделавшего парадоксы в аксиоматической науке правдой жизни. Вообще парадоксы давно волновали математиков. Или не волновали… скорее так, потому что в математике их не было. Парадоксы, точнее, Парадокс, антиномия, фундаментально неразрешимое суждение было известно давно. Самая простая формулировка Парадокса: «все лгут». Более аутентичная: «критянин Эпименид говорит, что все критяне – лжецы». Семантико -грамматическая – «несамоописывающий». В силу своей математической нестрогости, никакие парадоксы логики не интересовали математиков, они были, по общему мнению, причудой, как считалось, грамматики языка, на котором формулировались. Их Парадокс стал волновать тогда, когда он появился в их области знания. В 19 веке появилась теория множеств Георга Кантора и позже на ее языке Бертран Рассел сформулировал парадокс самозаглатывающих множеств. Ещё был парадокс Ришара, формулировка которого отчасти совпадает с предпосылками, использованными Гёделем в его первой теореме.

Смысл парадокса Рассела, таков: есть множества объектов, которые себя содержат, а есть те, которые не содержат себя. Первые множества  -самозаглатывающие, а вторые – нет. А что делать со множеством всех несамозаглатывающих множеств?

А вот арифметический квазипарадокс Ришара: есть числа, есть их свойства («быть натуральным», «быть простым», «быть чётным» и т.д.), все свойства пронумерованы, иногда бывает, что номер свойства сам обладает этим свойством, тогда этот номер называется Ришаровым. И у свойства « не быть Ришаровым числом» тоже есть номер, Ришаров ли он?

Курт Гёдель показал, что любая формальная система неполна, то есть в ней существуют утверждения, недоказуемые в ее рамках, но сформулированные по ее правилом, иначе эта система была бы противоречивой. В общем смысле такие гёделевские предикаты выглядят как Парадокс. Они истинны при истинности также их формальных отрицаний.

Даглас Хоффштадтер, математик, много лет пишущий о такого рода проблемах, сравнил теорему Гёделя с жемчужиной, скрытой в раковине её доказательства, ведь именно  в доказательстве теоремы Гёделя говориться о парадоксальной природе гёделевских предикатов.

Собственно, все объекты, о которых здесь идет речь, обретают свою загадочность благодаря самоописанию, замкнутости своего рассуждения на внутренней структуре объекта. Конечно же, по поводу этого свойства имеется масса вопросов, например, может ли компьютер успешно работать с автореферентными структурами, или является ли самосознание автореферентным, на второй вопрос кстати есть достаточно очевидный ответ – да, но как и при каких условиях это проявляется на фундаментальном уровне – уже другой, гораздо более сложный вопрос, останавливаться на котором в данном коротком формате не имеет смысла. А имеет смысл поэтическая метаморфоза, которая покажет, как же все эти формальные вещи могут повлиять на яркость и глубину восприятия окружающего мира, то есть на более полное понимание наукой фундаментальных принципов существования физических систем.

Дело в том, что физика, по-видимому, является формальной системой, хотя многие могут с этим не согласиться, но вот Роджер Пенроуз, например, вполне поддерживает такую точку зрения. Более того, он говорит, что в физике есть даже гёделевское суждение, таковым является, по его мнению, квантовый эффект декогеренции (когда при измерении квантовая частица, находящаяся изначально во всех возможных состояниях, метрически коллапсирует к одному). Есть фундаментальные математические причины, по которым квантовая механика не может описать сам этот процесс, только его условия и последствия. Пенроуз считает, что такая задача неразрешима потому, что декогеренция – пример Гёделевского суждения, следовательно, решить ее невозможно в принципе.

И вот к каким выводам это приводит: в любой законченной, самодостаточной при соответствующих масштабах области физики и любой другой науки, при условии, что она является формальной системой, формализованной по всем правилам, должны быть Гёделевские суждения. А значит Теорему Гёделя можно сформулировать следующим максимально общим, художественным образом: для того, чтобы мир был упорядоченным, чтобы законы природы выполнялись, нужно, чтобы где-то существовали объективные «чудеса» (немоделируемые явления и процессы, происхождение и природу которых принципиально нельзя установить), если бы это было не так, то за воротами физики, кажущейся нам полной и законченной, уже стояла бы армия трансцендентных химер, готовых в любой момент погрузить вселенную человеческого знания в хаос, потому что даже классическая физика была бы противоречива, и не описывала бы адекватно законы природы (а раз она это делает, то, следовательно, она формализуема и в ней, поэтому, как и в любой формальной системе, есть гёделевские суждения). Конечно, не стоит ждать, что подобные парадоксальные элементы научной головоломки просто лежали бы под ногами в таком случае, ведь формальная система физики на любых масштабах, в принципе, может быть сколь угодно большой, и ее гёделевские предикаты могут быть при этом отдалены от нас как в пространстве теорий и выкладок, так и просто в топографическом смысле, тогда может случиться, что в теории такие явления должны непременно и обязательно быть, но наблюдать их в силу бесконечной сложности, или большой удаленности невозможно.

В данном направлении рассуждений, даже оставаясь в рамках науки, можно зайти очень далеко, отыскивая в таких утверждениях, скажем, параллели с более давними формами «науки», в которых основное внимание уделялось как-раз таки явлениям уникальным и условно не повторяющимся (сравнение, которое не совсем справедливо, ведь явление гёделевского характера врядли носит одномоментный характер, и может,  как раз наоборот, представлять собой труднообнаружимый, но явный и устойчивый процесс, базовую природу которого при этом описать невозможно), более уместно, вероятно, будет вспомнить, например, идеи Льва Шестова, утверждавшего, что задача человеческого знания состоит, во многом, в отыскании трансцендентного там, где его, казалось бы, не может быть, и что в редких, непостижимых, парадоксальных вещах – в нашем случае -  при условии их принципиальной обнаружимости – может лежать разгадка и доказательство многих задач и вопросов (он считал, что даже «вечных» вопросов, но здесь это утверждение, конечно, применяется лишь к объективным проблемам науки).

Закончить хотелось бы следующим образом: современная фундаментальная наука, особенно наиболее талантливые и выдающиеся ее представители, крайне заинтересована в том, чтобы области, традиционно считающиеся внешними по отношению к ней, были постепенно освоены и изучены. Для этого она принимает в гипотетических своих построениях самые причудливые формы. Таков ее способ следовать третьему закону Кларка – только не технологии, а научные теории здесь, могут быть, на первый взгляд, неотличимы от магии.

Leave a Reply